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| Calculs théoriques et explicites en théorie d'Iwasawa (Explicit and theoric calculus on Iwasawa theory) | ||
Pitoun, Frédéric - (2010-09-17) / Université de Franche-Comté - Calculs théoriques et explicites en théorie d'Iwasawa en : Français Directeur(s) de thèse: Maire , Christian; Belliard, Jean Robert Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de Besançon (LMB). UMR 6623 Ecole doctorale : LP Classification : Mathématiques | ||
Mots-clés : théorie d’Iwasawa, cyclotomie, conjecture de Greenberg, radical de Kummer, conoyau de capitulation, composantes isotypiques, heuristiques de Cohen-Lenstra, algorithmique Résumé : Cette thèse s`intéresse à divers aspects de la théorie d'lwasawa. Dans le premier chapitre, on étudie les propriétés des composantes isotypiques d'un module sur l'anneau des entiers p-adiques dans le cas non semi-simple. Ces préliminaires algébriques effectués, on les utilise pour généraliser un résultat de lchimura, démontrant dans le cas semi-simple la trivialité de la partie moins d'un certain module d'lwasawa associe à un corps de nombres K contenant une racine primitive p-ième de l'unité. Par suite, on s ïntéresse au calcul explicite du radical de Kummer associé à un corps de nombres K contenant une racine primitive p-ième de l unité et l'on tente d effecter quelques heuristiques utilisant le logiciel pari-gp. Le troisième chapitre généralise un théorème dû a lchimura, utilisant les techniques développées par Nguyen Quang Do, Le Floc h et Movaheddi, théorème qui relie la partie plus des conoyaux de capitulation à la torsion de la partie moins d un certain module d Iwasawa associé au corps K. Ce résultat acquis, on donne l'ébauche d'un algorithme permettant de vérifier numériquement la conjecture de Greenberg. Enfin le quatrième chapitre expose un algorithme destiné a calculer explicitement la partie de p-torsion du groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne non-ramifiée en dehors de p maximale d un corps de nombres K, algorithme implémente en utilisant le logiciel pari-gp. Par suite on tente de donner une interprétation heuristique des résultats numériques obtenus via les heuristiques de Cohen-Lenstra Résumé (anglais) : This thesis is about various aspects of classical Iwasawa theory. In chapter one, we first study the properties of isotypic components of a module over the ring of p-adic integers in the non semi-simple case. Then we generalize a result of Ichimura. In the second chapter, we show how to compute using pari-gp the kummerian s radical associated to the Hilbert field of a number field K containing a primitive p-root of the unity. The third chapter uses technics developped by Nguyen, Le F1oc'h and Movaheddi in their studies of the capitulation's co-kernel to generalize a result from Ichimura. We give an isornorphism between the capitulation`s cokernel and the torsion of a certain Iwasawa module related to the field K. Then we give a sketch of an algorithm to check the Greenberg`s conjecture for some field K. The fourth chapter exposes a method to compute using pari-gp the p-torsion of the Galois group of the maximal p-extension of a number field K, which is abelian and unramified outside p. To finish, we try to give theoritical explanations of the numerical results using the Cohen-Lenstra heuristics Identifiant : UFC-1041 | ||
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