Ce mémoire est consacré à l’étude de quelques problèmes issus de la mécanique quantique relativiste et non relativiste. Dans une première partie, je décris mes travaux sur l’analyse de la pollution spectrale. Je présente dans un premier temps les résultats de stabilité par perturbation de ce phénomène de la théorie spectrale numérique. Puis je détaille l’analyse de deux méthodes d’approximation du spectre exemptes de pollution : la méthode du second ordre appliquée à des opérateurs de Dirac et la méthode de Davies et Plum appliquée, entre autres, à l’opérateur de Maxwell dans une cavité bornée. Dans une seconde partie, je présente deux analyses des propriétés dispersives de l’opérateur de Dirac. La première porte sur les estimations de Kato pour des perturbations coulombiennes obtenues par des méthodes de Mourre. La seconde s’intéresse à des estimations de Morawetz pour des perturbations magnétiques. La troisième partie décrit l’ensemble des résultats obtenus en théorie du contrôle bilinéaire d’équations de Schrödinger. Il s’agit essentiellement de résultats de contrôlabilité approchée avec régularité faible en temps ou de résultats de non contrôlabilité. Des résultats quantitatifs sur le temps ou l’énergie de contrôle sont également présentés. La dernière partie décrit l’analyse de la stabilité de solutions stationnaires d’équations de Dirac non linéaires. Une analyse des propriétés spectrales de la linéarisation donne des résultats de stabilité linéaire alors que l’analyse des résonances non linéaires permet de préciser les propriétés de stabilité asymptotique