Le lieu des zéros d'un polynôme à coefficients réels de n variables est (en général) une hypersurface de l'espace affine réel de dimension n dont la topologie dépend du choix du polynôme. A quelle topologie s'attendre lorsque le polynôme est choisi au hasard ? J'expliquerai les principaux résultats que l'on a pu établir avec Damien Gayet sur cette question.
Mot(s) clés libre(s) : géométrie, topologie, Grenoble, institut fourier, colloquium mathalp

One usually considers wave equations as evolution equations, i.e. imposes initial data and solves them. Equivalently, one can consider the forward and backward solution operators for the wave equation; these solve an equation Lu=f" style="position: relative;" tabindex="0" id="MathJax-Element-1-Frame">Lu=f, for say f" style="position: relative;" tabindex="0" id="MathJax-Element-2-Frame">f compactly supported, by demanding that u" style="position: relative;" tabindex="0" id="MathJax-Element-3-Frame">u is supported at points which are reachable by forward, respectively backward, time-like or light-like curves. This property corresponds to causality. But it has been known for a long time that in certain settings, such as Minkowski space, there are other ways of solving wave equations, namely the Feynman and anti-Feynman solution operators (propagators). I will explain a general setup in which all of these propagators are inverses of the wave operator on appropriate function spaces, and also mention positivity properties, and the connection to spectral and scattering theory in Riemannian settings, as well as to the classical parametrix construction of Duistermaat and Hörmander.
Mot(s) clés libre(s) : Feynman, Grenoble (Isère), institut fourier, colloquium mathalp, Propagator

La problématique du contrôle optimal est de guider l'évolution en temps d'un système donné vers une configuration finale souhaitée, tout en minimisant un certain critère. Le point saillant de cette théorie, qui généralise le calcul des variations, est le principe du maximum de Pontryagin, qui donne des conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre. Du point de vue numérique ce principe réduit le problème initial à un problème aux deux bouts qui peut être résolu par une méthode de tir. En pratique il est très difficile de faire converger numériquement une méthode de tir, et elle doit être combinée à d'autres approches. Je parlerai ici, sur des exemples motivés par l'aérospatiale, des méthodes de continuation numérique, de contrôle géométrique, puis d'éléments de théorie des systèmes dynamiques qui, convenablement utilisés, permettent de planifier des missions spatiales interplanétaires.
Mot(s) clés libre(s) : théorie du contrôle, Grenoble (Isère), institut fourier, colloquium mathalp, aérospatial

Le problème isopérimétrique (à volume donné, minimiser la mesure de bord, et déterminer les ensembles extrémaux), remonte aux temps les plus anciens. Tout à la fois, il peut se formuler de façon générale dans un espace métrique mesuré, et dans le même temps assez peu d’exemples explicites, en particuliers de minimiseurs, sont connus. Les questions se portent ainsi vers des propriétés de comparaison avec les des espaces modèles, comme ceux de la géométrie, euclidienne, sphérique et hyperbolique (pour lesquels les boules constituent les éléments extrémaux du problème isopérimétrique). L’exposé sera consacré à une présentation du problème isopérimétrique dans les espaces métriques mesurés, et à la résolution récente d’un théorème de comparaison avec le modèle sphérique à travers des minorants de courbure issus de la théorie du transport de masse.
Mot(s) clés libre(s) : géométrie, Grenoble (Isère), institut fourier, colloquium mathalp