Ces recherches appartiennent à l’analyse fonctionnelle et sont consacrées aux algèbres de groupes dans un sens large. Elles se divisent en trois axes: algèbres ou espaces à poids sur les groupes localement compacts, dualité d’algèbres de groupes non-commutatifs et quantiques, et des questions topologiques sur des groupes localement compacts et leurs algèbres.

L’étude des extensions algébriques infinies de corps globaux revêt de nombreuses facettes. Elle fait appel à des mathématiques très variées telles que la topologie, la théorie des groupes, des représentations, la théorie algébrique des nombres, mais aussi la théorie analytique des nombres, l’analyse fonctionnelle, ou encore les probabilités pour ne citer que celles qui nous intéressent plus particulièrement. Notre passion pour les questions asymptotiques trouve son origine dans son lien étonnant avec des problèmes pratiques relatifs à la construction de codes correcteurs d’erreurs et d’empilements de sphères. A travers ce mémoire je vais ainsi essayer d’illustrer par mes travaux ces différents domaines de recherche liés à l’étude en famille des corps globaux et des variétés algébriques définies sur un corps fini.

Analyse statistique des modèles GARCH et des modèles VARMA

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Ce mémoire est consacré à l’étude de quelques problèmes issus de la mécanique quantique relativiste et non relativiste. Dans une première partie, je décris mes travaux sur l’analyse de la pollution spectrale. Je présente dans un premier temps les résultats de stabilité par perturbation de ce phénomène de la théorie spectrale numérique. Puis je détaille l’analyse de deux méthodes d’approximation du spectre exemptes de pollution : la méthode du second ordre appliquée à des opérateurs de Dirac et la méthode de Davies et Plum appliquée, entre autres, à l’opérateur de Maxwell dans une cavité bornée. Dans une seconde partie, je présente deux analyses des propriétés dispersives de l’opérateur de Dirac. La première porte sur les estimations de Kato pour des perturbations coulombiennes obtenues par des méthodes de Mourre. La seconde s’intéresse à des estimations de Morawetz pour des perturbations magnétiques. La troisième partie décrit l’ensemble des résultats obtenus en théorie du contrôle bilinéaire d’équations de Schrödinger. Il s’agit essentiellement de résultats de contrôlabilité approchée avec régularité faible en temps ou de résultats de non contrôlabilité. Des résultats quantitatifs sur le temps ou l’énergie de contrôle sont également présentés. La dernière partie décrit l’analyse de la stabilité de solutions stationnaires d’équations de Dirac non linéaires. Une analyse des propriétés spectrales de la linéarisation donne des résultats de stabilité linéaire alors que l’analyse des résonances non linéaires permet de préciser les propriétés de stabilité asymptotique

Contributions à l’étude de la mesure empirique et de la mesure empirique locale. Applications en statistique non paramétrique

Présentation de contributions au traitement de certaines conditions limites et d’interface dans le cadre de la Méthode des Eléments Finis (MEF). Il s’agit d’une thématique classique qui a suscité de nombreux travaux depuis les années soixante dix, où les bases mathématiques de la MEF ont été posées. Les méthodes initialement proposées (pénalité, multiplicateurs de Lagrange, Nitsche,...) sont d’ailleurs maintenant bien connues, comprises et analysées dans les cas les plus simples, en particulier pour un opérateur elliptique linéaire avec condition de Dirichlet. Toutefois, au moins deux raisons ont incité une communauté assez large de chercheurs à revisiter et à améliorer ces méthodes : 1. un accroissement de la complexité des problèmes physiques résolus dans le cadre de la MEF, permis d’une part par un progrès constant des ressources en calcul numérique, et d’autre part stimulé par les besoins des physiciens et des ingénieurs. En particulier, beaucoup de problèmes, dits “multi-physiques”, font intervenir des équations aux dérivées partielles différentes dans des sous-domaines différents, avec des équations de couplage à l’interface, par exemple les problèmes d’interaction fluide-structure, ou encore de couplage fluide-milieu poreux [62, 94]. Également, d’autres problèmes sont associés à des conditions aux limites complexes et fortement non-linéaires, comme par exemple le contact unilatéral ou le frottement de Coulomb. Il faut pouvoir alors adapter les méthodes existantes à ces nouvelles situations. 2. une volonté d’améliorer les méthodes en levant certaines restrictions apparaissant naturellement dans leurs formulations classiques. Par exemple, dans le cas des problèmes d’interface, on peut souhaiter que les maillages des deux sous-domaines séparés par l’interface ne soient pas compatibles, autrement dit que les nœuds des éléments qui sont de part et d’autre ne coïncident pas. De même, il peut être intéressant dans certaines situations d’avoir un maillage qui n’approche pas la frontière physique où l’on souhaite imposer une condition limite (“frontières immergées” ou “domaines fictifs”). Enfin, on peut vouloir coupler des méthodes différentes, par exemple une méthode éléments finis et une méthode spectrale

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Processus de risque en dimension N ; réseau de files fluides

Ce texte représente une synthèse de mes activités de recherche qui s’articulent principalement autour de deux thèmes : les équations aux dérivées partielles stochastiques et les équations différentielles stochastiques dirigées par un mouvement brownien fractionnaire. Le fil conducteur des différents travaux que j’ai menés est certainement l’étude de comportement qualitatif de solutions d’équations stochastiques, qu’elles soient aux dérivées partielles ou différentielles fractionnaires. En effet, même si une partie des résultats concerne des problèmes d’existence et d’unicité, ou de calcul de Malliavin, l’étude des trajectoires, la comparaison entre les comportements provenant d’un mouvement brownien fractionnaire et ceux provenant d’un mouvement brownien classique sont toujours des motivations que j’ai en tête et qui motivent le développement et l’étude d’outils et de propriétés plus abstraites