Le lieu des zéros d'un polynôme à coefficients réels de n variables est (en général) une hypersurface de l'espace affine réel de dimension n dont la topologie dépend du choix du polynôme. A quelle topologie s'attendre lorsque le polynôme est choisi au hasard ? J'expliquerai les principaux résultats que l'on a pu établir avec Damien Gayet sur cette question.
Mot(s) clés libre(s) : géométrie, topologie, Grenoble, institut fourier, colloquium mathalp

L’objectif de cet exposé est de tendre quelques élastiques permettant de relier certains travaux réputés abstraits en topologie et quelques applications supposées très concrètes, les élastiques  étant essentiellement constitués pour part d’algorithmes de calcul algébrique et de modélisations adaptées à ce type de calculs. Nous parlerons donc de topologie de variétés de petites dimensions, d’algorithmes de résolution de systèmes d’équations algébriques, de ce que l’un apporte à l’autre et …. vice-versa,  mais également de complémentarité entre méthodes numériques et méthodes exactes.
Mot(s) clés libre(s) : algorithme, topologie

La théorie de la relativité générale, les modèles de trous noirs et les solutions cosmologiques de type " big-bang " qui en découlent, décrivent des espace-temps courbés par la gravitation, sans toutefois trancher sur certaines questions fondamentales quant à la nature de l'espace. Quelle est sa structure géométrique à grande et à petite échelle ? Est-il continu ou discontinu, fini ou infini, possède-t-il des " trous " ou des " poignées ", contient-il un seul feuillet ou plusieurs, est-il " lisse " ou " chiffonné " ? Des approches récentes et encore spéculatives, comme la gravité quantique, les théories multidimensionnelles et la topologie cosmique, ouvrent des perspectives inédites sur ces questions. Je détaillerai deux aspects particuliers de cette recherche. Le premier sera consacré aux trous noirs. Astres dont l'attraction est si intense que rien ne peut s'en échapper, les trous noirs sont le triomphe ultime de la gravitation sur la matière et sur la lumière. Je décrirai les distorsions spatio-temporelles engendrées par les trous noirs et leurs propriétés exotiques : extraction d'énergie, évaporation quantique, singularités, trous blancs et trous de ver, destin de la matière qui s'y engouffre, sites astronomiques où l'on pense les avoir débusqués. Le second aspect décrira les recherches récentes en topologie cosmique, où l'espace " chiffonné ", fini mais de topologie multiconnexe, donne l'illusion d'un espace déplié plus vaste, peuplé d'un grand nombre de galaxies fantômes. L'univers observable acquiert ainsi la forme d'un " cristal " dont seule une maille correspond à l'espace réel, les autres mailles étant des répliques distordues emplies de sources fantômes.
Mot(s) clés libre(s) : astrophysique, cosmologie, courbure, espace, espace courbe, espace riemannien, espace-temps, forme de l'espace, géométrie différentielle, géométrie euclidienne, géométrie multidimensionnelle, gravitation, physique quantique, relativité générale, topologie

Dans l’Océan Pacifique, les Polynésiens savaient naviguer entre des îles distantes sans GPS, ni boussole, ni horloge. Ils pouvaient rester plusieurs jours sans voir un morceau de terre. Pourtant, ils ne se perdaient pas grâce à une technique de navigation utilisant une connaissance partielle de leur environnement et la vision stellaire. De nos jours, avec l’apparition du GPS, ces techniques peuvent nous paraître désuètes. Cependant, dans un environnement sous-marin, le GPS ne fonctionne pas. Pour naviguer sans refaire surface, les robots sous-marins cherchent à reproduire les méthodes de navigation ancestrales afin d’explorer de grands environnements sans jamais se perdre.
Mot(s) clés libre(s) : robotique sous-marine, robotique mobile, intelligence artificielle, navigation topologique, navigation métrique, exploration, environnement non structuré

Devoir maison composé d'un exercice de quatre questions et de leurs corrigés.
Mot(s) clés libre(s) : Topologie, Espace, Espace métrique, Frontière, Connexité, Exo7

Une conférence de Roland Lehoucq, astrophysicien au service d'astrophysique du CEA de Saclay. Un voyage aux frontières de la cosmologie, de la géométrie, de la topologie, de l'astrophysique... En route pour la topologie cosmique !
Mot(s) clés libre(s) : cosmologie, topologie, topologie cosmique, astrophysique, forme de l'univers, infini, géométrie, géométrie sphérique, géométrie euclidienne, géométrie hyperbolique, espace de Poincaré, dodécaèdre, fond diffus cosmologique, modèle de concordance, courbure de l'univers, rayonnement cosmologique, expansion, univers en expansion, satellite COBE, WMAP, cercles corrélés, isotropie de l'univers, rayonnement infra-rouge, espaces multiconnexes

Vague de pollution sur Paris. On parle de microparticules dans l’air… mais peut-on savoir ce qu’il y a à un niveau de taille encore inférieur, comme les nanoparticules ? Oui, grâce aux ondes électromagnétiques. Nous verrons que les ondes réagissent d’une manière particulière quand elles rencontrent un objet, comme les particules dans l’air. Analyser ces réactions permet de jouer les enquêteurs en remontant la piste à l’envers jusqu’à deviner quel objet a été rencontré ! Ceci devient plus complexe quand l’objet est de la même taille que la longueur d’onde. Mais cela peut avoir des applications dans des domaines très différents comme par exemple la détection de cellules cancéreuses, de fissures dans des pylônes, ou des mines enterrées dans le désert d’Atacama au Chili.
Mot(s) clés libre(s) : rayon X, onde électromagnétique, problème inverse, optimisation topologique de forme, micro-onde, SAXS, algorithme numérique

Fondée dans les années 70 par le mathématicien René Thom, la théorie des catastrophes devient rapidement, malgré l’engouement qu’elle suscite, sujet de controverse et de critique. Visant à décrire les phénomènes discontinus à l'aide de modèles mathématiques continus, elle se définit comme un langage mathématique, un outil d’intelligibilité du monde mais son manque de rigueur et sa nature qualitative laissent sceptique positivistes et mathématiciens purs. Bien que ces critiques n’aient que partiellement entamé son expansion puisque ses domaines d’application s’étendent au fil du temps de la biologie aux disciplines de sciences humaines telles que l’éthologie et la psychologie (théorie de Harry Blum), elles sont à l’origine du désintérêt des chercheurs pour ce langage mathématique apte selon Luc Gootjes à relever de nouveaux défis scientifiques.La conférence a été donnée à l'Université Victor Segalen Bordeaux 2 dans le cadre du cycle de conférences "L'invité du Mercredi" / Saison 2005-2006 sur le thème "L'espoir". Service culturel Université Victor Segalen de Bordeaux 2 / DCAM /
Mot(s) clés libre(s) : caractéristique d'Euler-Poincaré, espace, espace multidimensionnel, langage mathématique, modèle dynamique continu, phénomènes discontinus, René Thom, théorie des catastrophes, topologie différentielle

Devoir maison composé de 4 exercices et de leurs corrigés.
Mot(s) clés libre(s) : Topologie, Espace, Exo7

Cette série comprend 9 exercices, des indications et les corrigés.
Mot(s) clés libre(s) : fonction de plusieurs variables, topologie, Exo7