Dans cet exposé, à la fois historique et technique, nous expliquerons tout d'abord comment les machines à chiffrer Enigma ont pu être cryptanalysées durant la deuxième guerre mondiale. Nous nous efforcerons ensuite de dégager les grands principes qui sont à l'oeuvre aussi bien dans l'analyse des machines à rotors historiques que dans le chiffrement par blocs moderne.  Dans les deux cas il s'agit de constructions à base de combinaisons (non-commutatives!) de permutations et il existe un certain nombre de stratégies qui permettent de déjouer leur apparente complexité. Nous expliquerons le rôle majeur joué par certaines propriétés et théorèmes clés sur les permutations, qui concernent, notamment, les involutions, les cycles courts et les points fixes.
Mot(s) clés libre(s) : algèbre, histoire, cryptographie, information

Ce livre est un cours complet de mathématiques pour la première année des classes préparatoires scientifiques. Il est agrémenté de 1500 exercices corrigés de difficultés variées, de 4 chapitres de méthodes, d'un aide-mémoire et de nombreuses biographies de mathématiciens.
Mot(s) clés libre(s) : algèbre, analyse, géométrie

La notion d'espace (intrinsèquement) courbe a mis beaucoup de temps avant de s'imposer. Pour la définir il convient de dépasser le premier modèle de géométrie systématiquement développée qu'est la géométrie d'Euclide. De ce point de vue, l'émergence au début du XIXe siècle des géométries non-euclidiennes a joué un rôle déterminant, qui a été encore amplifié par l'oeuvre révolutionnaire de Bernhard Riemann en 1854. Ce contexte mathématiquement riche sera complété par la reconnaissance par Albert Einstein qu'il pouvait servir de cadre à sa théorie de la Relativité Générale, qui identifie les effets gravitationnels à la courbure de l'espace. Le sujet n'a cessé de se développer tout au long du XXe siècle, avec notamment la recherche de conséquences sur la topologie globale de l'espace d'hypothèses sur la courbure vérifiée en chaque point sur la topologie globale de l'espace. A partir des années 1970 la considération systématique d'espaces moins réguliers a été un important moteur de la recherche, ce qui a permis l'émergence de modèles plus généraux, utilisés tant en informatique que dans l'étude de l'espace des couleurs, un sujet classique chez les mathématiciens mais peu connu du grand public. Le concept d'espace courbe a aussi fasciné certains artistes dont certaines oeuvres proposent des promenades dans les espaces courbes. inertes.
Mot(s) clés libre(s) : caractéristique d'Euler-Poincaré, courbure, espace courbe, espace multidimensionnel, Gauss, géométrie euclidienne, modèle géométrique, plan, tenseur de Riemann, théorie de la Relativité, topologie algébrique

Chapitre "L'espace vectoriel R^n" - Partie 3 : Propriétés des applications linéairesPlan : Composition d'applications linéaires et produit de matrices ; Application linéaire bijective et matrice inversible ; Caractérisation des applications linéairesExo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants.Retrouvez le polycopié sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre linéaire

Chapitre "L'espace vectoriel R^n" - Partie 2 : Exemples d'applications linéairesPlan : Applications linéaires ; Exemples d'applications linéairesExo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants.Retrouvez le polycopié sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre linéaire

Chapitre "L'espace vectoriel R^n" - Partie 1 : Vecteurs de R^nPlan : Opérations sur les vecteurs ; Représentation des vecteurs de R^n ; Produit scalaireExo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants.Retrouvez le polycopié sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre linéaire

Polynômes tels que P' divise P.Bonus (à 7'25'') : Conjecture de Casas-Alvero.Exo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Retrouvez la correction écrite sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre

Divisibilité de polynômes.Bonus (à 25'26'') : Relation de Bézout.Exo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Retrouvez la correction écrite sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre

Relation obtenue par décomposition en éléments simples.Bonus (à 6'03'') : Coefficients de Bézout obtenus par décomposition en éléments simples.Exo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Retrouvez la correction écrite sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre

Racine multiple d'un polynôme.Bonus (à 4'39'') : Multplicité d'une racine.Exo7. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Retrouvez la correction écrite sur http://exo7.emath.fr
Mot(s) clés libre(s) : algèbre