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Date
Editeur
Auteur
Titre
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Valérie Berthé - Fractions continues multidimensionnelles et dynamique (Part 1)
/ Fanny Bastien
/ 18-06-2013
/ Canal-u.fr
Berthé Valérie
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Le
but de cet exposé est de présenter des généralisations
multidimensionnelles des fractions continues et de l’algorithme
d’Euclide d’un point de vue systèmes dynamiques, en nous concentrant sur
les liens avec la numération et les substitutions. Nous allons
considérer principalement deux types de généralisations, à savoir, les
algorithmes définis par homographies, comme l’algorithme de
Jacobi-Perron, et les fractions continues associées aux algorithmes de
réduction dans les réseaux. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Valérie Berthé - Fractions continues multidimensionnelles et dynamique (Part 3)
/ Fanny Bastien
/ 21-06-2013
/ Canal-u.fr
Berthé Valérie
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Le
but de cet exposé est de présenter des généralisations
multidimensionnelles des fractions continues et de l’algorithme
d’Euclide d’un point de vue systèmes dynamiques, en nous concentrant sur
les liens avec la numération et les substitutions. Nous allons
considérer principalement deux types de généralisations, à savoir, les
algorithmes définis par homographies, comme l’algorithme de
Jacobi-Perron, et les fractions continues associées aux algorithmes de
réduction dans les réseaux. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Marie-José Bertin - Des nombres de Salem à la mesure de Mahler de surfaces K3 (Part 1)
/ Fanny Bastien
/ 17-06-2013
/ Canal-u.fr
Bertin Marie-José
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Le
récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective
K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces
entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous
les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant
on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la
construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de
Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera
que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite
d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd
(1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de
certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans
le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de
cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps
quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la
surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une
forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on
évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur
les surfaces K3 algébriques. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Marie-José Bertin - Des nombres de Salem à la mesure de Mahler de surfaces K3 (Part 3)
/ Fanny Bastien
/ 21-06-2013
/ Canal-u.fr
Bertin Marie-José
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Le
récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective
K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces
entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous
les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant
on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la
construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de
Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera
que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite
d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd
(1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de
certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans
le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de
cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps
quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la
surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une
forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on
évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur
les surfaces K3 algébriques. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Marie-José Bertin - Des nombres de Salem à la mesure de Mahler de surfaces K3 (Part 4)
/ Fanny Bastien
/ 25-06-2013
/ Canal-u.fr
Bertin Marie-José
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Le
récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective
K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces
entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous
les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant
on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la
construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de
Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera
que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite
d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd
(1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de
certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans
le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de
cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps
quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la
surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une
forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on
évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur
les surfaces K3 algébriques. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Mike Boyle - Nonnegative matrices : Perron Frobenius theory and related algebra (Part 1)
/ Fanny Bastien
/ 18-06-2013
/ Canal-u.fr
Boyle Mike
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Lecture
I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential
features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the
central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius"
part, for irreducible matrices, and finally the case for general
nonnegative matrices, will be described, with proofs left to
accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers"
to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the
Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,...
nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent
formalism by which a certain zeta function can be associated to a
nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the
matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for
constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural
algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring
(such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is
related to K-theory. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Mike Boyle - Nonnegative matrices : Perron Frobenius theory and related algebra (Part 2)
/ Fanny Bastien
/ 21-06-2013
/ Canal-u.fr
Boyle Mike
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Lecture
I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential
features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the
central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius"
part, for irreducible matrices, and finally the case for general
nonnegative matrices, will be described, with proofs left to
accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers"
to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the
Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,...
nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent
formalism by which a certain zeta function can be associated to a
nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the
matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for
constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural
algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring
(such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is
related to K-theory. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Mike Boyle - Nonnegative matrices : Perron Frobenius theory and related algebra (Part 4)
/ Fanny Bastien
/ 25-06-2013
/ Canal-u.fr
Boyle Mike
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Lecture
I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential
features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the
central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius"
part, for irreducible matrices, and finally the case for general
nonnegative matrices, will be described, with proofs left to
accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers"
to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the
Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,...
nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent
formalism by which a certain zeta function can be associated to a
nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the
matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for
constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural
algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring
(such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is
related to K-theory. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Karma Dajani - An introduction to Ergodic Theory of Numbers (Part 1)
/ Fanny Bastien
/ 17-06-2013
/ Canal-u.fr
Dajani Karma
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In
this course we give an introduction to the ergodic theory behind common
number expansions, like expansions to integer and non-integer bases,
Luroth series and continued fraction expansion. Starting with basic
ideas in ergodic theory such as ergodicity, the ergodic theorem and
natural extensions, we apply these to the familiar expansions mentioned
above in order to understand the structure and global behaviour of
different number theoretic expansions, and to obtain new and old results
in an elegant and straightforward manner. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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Karma Dajani - An introduction to Ergodic Theory of Numbers (Part 2)
/ Fanny Bastien
/ 19-06-2013
/ Canal-u.fr
Dajani Karma
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In this course we give an introduction to the ergodic theory behind common number expansions, like expansions to integer and non-integer bases, Luroth series and continued fraction expansion. Starting with basic ideas in ergodic theory such as ergodicity, the ergodic theorem and natural extensions, we apply these to the familiar expansions mentioned above in order to understand the structure and global behaviour of different number theoretic expansions, and to obtain new and old results in an elegant and straightforward manner. Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory
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