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Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, institut fourier, summer school, geometric measure theory, calculus of variation

Lecture I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius" part, for irreducible matrices, and finally the case for general nonnegative matrices, will be described, with proofs left to accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers" to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,... nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent formalism by which a certain zeta function can be associated to a nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring (such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is related to K-theory.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory

Lecture I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius" part, for irreducible matrices, and finally the case for general nonnegative matrices, will be described, with proofs left to accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers" to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,... nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent formalism by which a certain zeta function can be associated to a nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring (such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is related to K-theory.
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Lecture I. I’ll give a complete elementary presentation of the essential features of the Perron Frobenius theory of nonnegative matrices for the central case of primitive matrices (the "Perron" part). (The "Frobenius" part, for irreducible matrices, and finally the case for general nonnegative matrices, will be described, with proofs left to accompanying notes.) For integer matrices we’ll relate "Perron numbers" to this and Mahler measures. Lecture II. I’ll describe how the Perron-Frobenius theory generalizes (and fails to generalize) to 1,2,... x 1,2,... nonnegative matrices. Lecture III. We’ll see the simple, potent formalism by which a certain zeta function can be associated to a nonnegative matrix, and its relation to the nonzero spectrum of the matrix, and how polynomial matrices can be used in this setting for constructions and conciseness. Lecture IV. We’ll describe a natural algebraic equivalence relation on finite square matrices over a semiring (such as Z, Z_+, R, ... ) which refines the nonzero spectrum and is related to K-theory.
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I will discuss energy and Morawetz (or integrated local decay) estimates for fields outside black holes. These results build on results for the wave equation and use the Killing tensor, an unusual geometric object that exists in the Kerr spacetime.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, General Relativity, institut fourier, summer school, asymptotic analysis

Le récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd (1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur les surfaces K3 algébriques.
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Le récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd (1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur les surfaces K3 algébriques.
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Le récent article de McMullen « Dynamics with small entropy on projective K3 surfaces » éclaire d’un jour nouveau les nombres de Salem. Ces entiers algébriques gardent cependant tout leur mystère. On peut tous les obtenir grâce à la construction de Salem (Boyd (1977)) et cependant on ignore s’il en existe un inférieur à 1,1762... Après avoir rappelé la construction de Salem et le théorème de Boyd, on définira la mesure de Mahler logarithmique d’un polynôme de plusieurs variables. On prouvera que la mesure de Mahler d’un polynôme de deux variables est la limite d’une suite de mesures de Mahler de polynômes d’une variable (Boyd (1981)). On donnera des mesures explicites de mesures de Mahler de certaines classes de polynômes de 2 et 3 variables. En particulier dans le cas de 3 variables on présentera deux aspects de l’expression de cette mesure, un aspect arithmétique comme série L de Hecke d’un corps quadratique imaginaire et un aspect géométrique comme série L de la surface K3 définie par le polynôme qui s’exprime comme série L d’une forme modulaire de poids 3 à coefficients rationnels. Pour terminer, on évoquera des problèmes plus géométriques de fibrations elliptiques sur les surfaces K3 algébriques.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, dynamics, institut fourier, summer school, number theory

Le but de cet exposé est de présenter des généralisations multidimensionnelles des fractions continues et de l’algorithme d’Euclide d’un point de vue systèmes dynamiques, en nous concentrant sur les liens avec la numération et les substitutions. Nous allons considérer principalement deux types de généralisations, à savoir, les algorithmes définis par homographies, comme l’algorithme de Jacobi-Perron, et les fractions continues associées aux algorithmes de réduction dans les réseaux.
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Le but de cet exposé est de présenter des généralisations multidimensionnelles des fractions continues et de l’algorithme d’Euclide d’un point de vue systèmes dynamiques, en nous concentrant sur les liens avec la numération et les substitutions. Nous allons considérer principalement deux types de généralisations, à savoir, les algorithmes définis par homographies, comme l’algorithme de Jacobi-Perron, et les fractions continues associées aux algorithmes de réduction dans les réseaux.
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