The course covers two separate but closely related topics. The first topic is the mean curvature flow in the framework of GMT due to Brakke. It is a flow of varifold moving by the generalized mean curvature. Starting from a quick review on the necessary tools and facts from GMT and the definition of the Brakke mean curvature flow, I will give an overview on the proof of the local regularity theorem. The second topic is the reaction-diffusion approximation of phase boundaries with key words such as the Modica-Mortola functional and the Allen-Cahn equation. Their singular perturbation problems are related to objects such as minimal surfaces and mean curvature flows in the framework of GMT.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, institut fourier, summer school, geometric measure theory, calculus of variation

"Le thème assigné à cette conférence par le plan d'ensemble du cycle est ""Géométrie et Algèbre"" : il s'agit, comme chacun sait, de deux grands domaines des mathématiques à la fois très anciens, et très actuels par les multiples découvertes qui les ont enrichis dans les dernières décennies. J'ai intitulé l'exposé ""Espaces et nombres"". Les espaces de toutes natures (et non l'Espace avec un grand 'E', entité plutôt philosophique) sont en effet les objets d'étude privilégiés des géomètres en même temps que les cadres où ""vivent"" les notions géométriques. De même, on peut dire, en simplifiant beaucoup, que l'algèbre s'occupe, non pas des nombres pris individuellement, mais des systèmes de nombres. Parmi eux, le système de nombres entiers occupe une place de choix ; son étude, l'arithmétique, recèle des problèmes d'une grande beauté et parfois d'une extrême difficulté, qui ont de tous temps retenu l'attention de nombreux mathématiciens, parmi les meilleurs. L'exposé donnera des exemples variés d'espaces, de systèmes de nombres, de succès récents de l'arithmétique. Il évoquera aussi le rôle, non négligeable mais très éloigné de celui que le non-spécialiste imagine parfois, de l'introduction des ordinateurs dans l'étude de ces divers domaines."
Mot(s) clés libre(s) : algèbre, équation algébrique, espaces, figure, géométrie, nombre premier, Pi, système de nombre, théorème de Fermat

Un logiciel pour s'entraîner à résoudre des problèmes de dénombrement de niveau Terminale, L1, L2 utilisant une méthode constructive qui s'appuie sur le principe multiplicatif. Des outils permettant de rajouter des exercices et de définir des configurations (ensembles d'exercices) sont disponibles
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, dénombrement, denombrement, combinaison, arrangement, permutation, principe multiplicatif, résoudre, construction d'ensembles, construction de listes, construction d'ensemble par cas, logiciel

Jean BRETTE, Chef du département mathématiques, accueille une classe dans la salle des mathématiques. Cette salle, très célèbre pour ses décimales de P inscrites en spirales au plafond, existe depuis la création du Palais de la découverte. Les premiers calculs avaient été effectués manuellement et avaient permis de déterminer les 704 premières décimales (dont en fait seules 527 étaient exactes ...) alors qu'actuellement on en connaît plus de 1400 milliards (avec un intérêt toujours purement anecdotique cependant). Cet exemple permet d'apprécier les progrès réalisés dans la puissance de calcul dont on dispose. Jean Brette montre à partir de raisonnements géométriques simples l'existence d'une constante Pi et ses propriétés mathématiques. Il donne, en partant de raisonnements que pouvait faire Archimède, quelques méthodes pour encadrer la valeur de Pi avec une précision donnée. Ces méthodes ont une valeur de généralité et sont à la base du calcul différentiel et intégral. Générique Réalisation : Jean-François Ternay Image : Luc Ronat, Claude Delhaye Son : Christophe Gombert Production CNRS Images/media Diffuseur : CNRS Diffusion vidéothèque, photothèque (lhoste@cnrs-bellevue.fr) © CNRS Images/media - 2003
Mot(s) clés libre(s) : Pi

This series of lectures is dedicated to recent results concerning the existence of holomorphic curves on the surfaces of class VII. The first lecture will be an introduction to the Donaldson theory. We will present the fundamental notions and some important results in the theory, explaining ideas of the proofs. In the second lecture we will present the theory of holomorphic fiber bundles on complex surfaces, the stability notion, moduli spaces and the Kobayashi-Hitschin correspondence that links moduli spaces of stable fiber bundles (defined in the fram of complex geometry) to moduli spaces of instantons (defined in the frame of the Donaldson theory). In the last two lectures we will prove the existence of holomorphic curves on minimal surfaces of class VII with b2=1 or 2 and we will present the general strategy and the last results obtained in the general case.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, institut fourier, summer school, feuilletages, COURBES PSEUDOHOLOMORPHES

This series of lectures is dedicated to recent results concerning the existence of holomorphic curves on the surfaces of class VII. The first lecture will be an introduction to the Donaldson theory. We will present the fundamental notions and some important results in the theory, explaining ideas of the proofs. In the second lecture we will present the theory of holomorphic fiber bundles on complex surfaces, the stability notion, moduli spaces and the Kobayashi-Hitschin correspondence that links moduli spaces of stable fiber bundles (defined in the fram of complex geometry) to moduli spaces of instantons (defined in the frame of the Donaldson theory). In the last two lectures we will prove the existence of holomorphic curves on minimal surfaces of class VII with b2=1 or 2 and we will present the general strategy and the last results obtained in the general case.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, institut fourier, summer school, feuilletages, COURBES PSEUDOHOLOMORPHES

In order to control locally a space-­‐time which satisfies the Einstein equations, what are the minimal assumptions one should make on its curvature tensor? The bounded L2 curvature conjecture roughly asserts that one should only need L2 bounds of the curvature tensor on a given space-­‐like hypersurface. This conjecture has its roots in the remarkable developments of the last twenty years centered around the issue of optimal well-­‐posedness for nonlinear wave equations. In this context, a corresponding conjecture for nonlinear wave equations cannot hold, unless the nonlinearity has a very special nonlinear structure. I will present the proof of this conjecture, which sheds light on the specific null structure of the Einstein equations. This is joint work with Sergiu Klainerman and Igor Rodnianski. These lectures will start from scratch and require no specific background.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, General Relativity, institut fourier, summer school, asymptotic analysis

In order to control locally a space time which satisfies the Einstein equations, what are the minimal assumptions one should make on its curvature tensor? The bounded L2 curvature conjecture roughly asserts that one should only need L2 bounds of the curvature tensor on a given space like hypersurface. This conjecture has its roots in the remarkable developments of the last twenty years centered around the issue of optimal well posedness for nonlinear wave equations. In this context, a corresponding conjecture for nonlinear wave equations cannot hold, unless the nonlinearity has a very special nonlinear structure. I will present the proof of this conjecture, which sheds light on the specific null structure of the Einstein equations. This is joint work with Sergiu Klainerman and Igor Rodnianski. These lectures will start from scratch and require no specific background.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, General Relativity, institut fourier, summer school, asymptotic analysis

In order to control locally a space time which satisfies the Einstein equations, what are the minimal assumptions one should make on its curvature tensor? The bounded L2 curvature conjecture roughly asserts that one should only need L2 bounds of the curvature tensor on a given space like hypersurface. This conjecture has its roots in the remarkable developments of the last twenty years centered around the issue of optimal well posedness for nonlinear wave equations. In this context, a corresponding conjecture for nonlinear wave equations cannot hold, unless the nonlinearity has a very special nonlinear structure. I will present the proof of this conjecture, which sheds light on the specific null structure of the Einstein equations. This is joint work with Sergiu Klainerman and Igor Rodnianski.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, General Relativity, institut fourier, summer school, asymptotic analysis

We will focus in our lectures on the following : 1. J-complex discs in almost complex manifolds : general properties. Linearization and compactness. Gromov’s method : the Fredholm alternative for the d-bar operator. Attaching a complex disc to a Lagrangian manifold. Application : exotic symplectic structures. Hulls of totally real manifolds : Alexander’s theorem. 2. Real surfaces in (almost) complex surfaces. Filling real 2-spheres by a Levi-flat hypersurface (Bedford -Gaveau-Gromov theorem). Some applications. Symplectic and contact structures. Reeb foliation and the Weinsten conjecture. Hofer’s proof of the Weinstein conjecture. 3. J-complex lines and hyperbolicity. The KAM theory and Moser’s stability theorem for entire J-complex curves in tori. Global deformation and Bangert’s theorem.
Mot(s) clés libre(s) : mathématiques, Grenoble, école d'été, institut fourier, summer school, feuilletages, COURBES PSEUDOHOLOMORPHES