"Les récents ouragans sur la France nous ont brutalement rappelé l'importance des fluides tels que l'air et l'eau. Ces fluides obéissent aux lois de la mécanique classique de Newton. Ils sont très instables: dans le sillage d'un obstacle (sur une automobile, un TGV, un avion ou un navire), les différences de vitesse engendrent de magnifiques tourbillons en spirale, qui, tels des vagues sur l'océan, déferlent en turbulence. Cette turbulence est bien décrite à petite échelle par la fameuse "" cascade de Kolmogorov "", où les différences de vitesse entre deux points sont proportionnelles à la puissance un tiers de leur distance. La turbulence est en fait considérée comme un des derniers grands problèmes non résolus de la physique moderne. A l'heure où les biologistes élucident la structure du génome humain, des progrès décisifs sur la structure de la turbulence et des tourbillons qui la composent ont pu être faits par la résolution numérique sur super-calculateur scientifique des équations du mouvement. Un traitement d'image performant permet de visualiser les tourbillons et de suivre leur évolution. Une avancée considérable a en particulier été faite grâce au concept de "" simulation des grandes échelles "", où les fluctuations à petite échelle sont éliminées et modélisées par une viscosité turbulente intelligente. On montre des exemples de ces simulations réalisées à Grenoble (par "" viscosités spectrale ""), avec les anneaux-vortex (responsables des ronds de fumée) dans un jet, et les tourbillons en arche au voisinage d'une paroi et sur une cavité. La simulation numérique est un outil très précieux pour le contrôle de la turbulence en aérodynamique, acoustique, combustion et pollution."
Mot(s) clés libre(s) : écoulement, mécanique des fluides, simulation numérique, tempête, théorème de Bernoulli, thermodynamique, tourbillon, turbulence, viscosité, vorticité

"Les récents ouragans sur la France nous ont brutalement rappelé l'importance des fluides tels que l'air et l'eau. Ces fluides obéissent aux lois de la mécanique classique de Newton. Ils sont très instables: dans le sillage d'un obstacle (sur une automobile, un TGV, un avion ou un navire), les différences de vitesse engendrent de magnifiques tourbillons en spirale, qui, tels des vagues sur l'océan, déferlent en turbulence. Cette turbulence est bien décrite à petite échelle par la fameuse "" cascade de Kolmogorov "", où les différences de vitesse entre deux points sont proportionnelles à la puissance un tiers de leur distance. La turbulence est en fait considérée comme un des derniers grands problèmes non résolus de la physique moderne. A l'heure où les biologistes élucident la structure du génome humain, des progrès décisifs sur la structure de la turbulence et des tourbillons qui la composent ont pu être faits par la résolution numérique sur super-calculateur scientifique des équations du mouvement. Un traitement d'image performant permet de visualiser les tourbillons et de suivre leur évolution. Une avancée considérable a en particulier été faite grâce au concept de "" simulation des grandes échelles "", où les fluctuations à petite échelle sont éliminées et modélisées par une viscosité turbulente intelligente. On montre des exemples de ces simulations réalisées à Grenoble (par "" viscosités spectrale ""), avec les anneaux-vortex (responsables des ronds de fumée) dans un jet, et les tourbillons en arche au voisinage d'une paroi et sur une cavité. La simulation numérique est un outil très précieux pour le contrôle de la turbulence en aérodynamique, acoustique, combustion et pollution."
Mot(s) clés libre(s) : thermodynamique, viscosité, théorème de Bernoulli, mécanique des fluides, tempête, tourbillon, turbulence, écoulement, simulation numérique, vorticité

"Mathématicien amateur, mais grand mathématicien s'il en fut, Fermat est à l'origine d'une énigme qui, pendant 350 ans, a retenu l'attention de ses pairs, amateurs et professionnels, au point d'entrer dans l'inconscient collectif de la communauté mathématique. Après un essai de caractérisation de l'essence de cette énigme extraordinaire, nous donnerons quelques détails sur les principales étapes d'une longue période de progrès continus, mais indécis, et sur le statut variable de cette énigme dans le temple des mathématiques. Puis nous expliquerons comment l'établissement d'un ""pont"" entre cette énigme et des conjectures venues de domaines mathématiques très éloignés a permis de la ""normaliser"" et, finalement, de la subsumer dans une vaste construction dont le mérite revient à de nombreux mathématiciens au premier rang desquels figure Andrew Wiles. Nous terminerons en parlant des perspectives ouvertes et des énigmes nouvelles. "
Mot(s) clés libre(s) : arithmétique, courbe de Frey, énigme mathématique, théorème de Fermat, théorème de Wiles, théorie des nombres

BRAISE est centré sur la résolution de problèmes : il propose un choix raisonné d’exercices. Tout le contenu d’un cours sur le sujet est présent, mais il est réorganisé en lien étroit avec les exercices pour permettre une meilleure maîtrise des connaissances. Chaque exercice est en effet au cœur d’un environnement de travail comportant des éléments de cours, des méthodes et techniques utilisables, des indications, des éléments de solution, des idées à retenir …Le classement des exercices par thème et selon leur difficulté permet de choisir un guide de travail adapté à chaque formation. Les thèmes abordés dans le chapitre équations différentielles sont: Étude qualitative d’équations différentielles, Équations différentielles linéaires d’ordre 1, Équations différentielles linéaires d’ordre 2, Équations fonctionnelles, Systèmes différentiels linéaires.
Mot(s) clés libre(s) : équations différentielles linéaires, théorème de Cauchy-Lipschitz, méthode de variation des constantes, recollement de solutions, systèmes différentiels

Série de 9 exercices.
Mot(s) clés libre(s) : Anneaux, Congruence, Théorème de Wilson, Théorème de Fermat, Exo7

Ce cours comporte trois parties : éléments cinétiques d'un système de deux points matériels, dynamique d'un système de deux points matériels, système isolé de deux points matériels.
Mot(s) clés libre(s) : énergie cinétique, points matériels, référentiel barycentrique, énergie potentielle, énergie mécanique, moment cinétique, théorèmes de Koenig

Ce cours de mécanique du solide est composé des parties suivantes : Cinétique des systèmes matériels, mouvement d'un solide, étude dynamique des systèmes matériels, étude énergétique des systèmes matériels, contact entre deux solides- lois du frottement.
Mot(s) clés libre(s) : référentiel barycentrique, torseur cinétique, élément cinétique, mouvemant d'un solide, théorème de Kœnig, théorème de Huygens, frottement

Ce cours aborde en préliminaire les parties suivantes : quelques notions qualitatives sur l'optique ondulatoire, différents modèles de la lumière, phase d'une onde lumineuse, notion de chemin optique, surfaces d'onde et stigmatisme, théorème de Malus, trains d'onde, profil spectral d'un train d'ondes quasi-monochromatique
Mot(s) clés libre(s) : ondes lumineuses, chemin optique, surface d'onde, trains d'ondes, théorème de Malus

Ce cours est composé de 2 parties : énoncé du théorème d'Ampère, exemples d'applications du théorème d'Ampère.
Mot(s) clés libre(s) : théorème d’Ampère, champ magnétique

"La "" crise des fondements "" s'ouvre en 1897 avec le paradoxe de Burali-Forti, une contradiction dans la toute jeune théorie des Ensembles. Parmi les solutions proposées, le "" Programme de Hilbert "" (~ 1925) accorde un rôle privilégié à la non-contradiction formelle. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931), qui réfute le programme de Hilbert, a fait le désespoir de tous ceux qui cherchaient une réponse définitive à leurs angoisses fondationnelles. Il a aussi gêné ceux qui cherchaient plus simplement à comprendre la nature des objets mathématiques. Ce n'est qu'avec le développement de l'informatique qu'ont pu se dégager de nouveaux axes de lecture, en rupture de plus en plus nette avec le réductionnisme Hilbertien. "
Mot(s) clés libre(s) : analyse, arithmétique de Peano, diagonale de Cantor, expansivité, formalisme mathématique, Hilbert, intuitionnisme, langage informatique, paradoxe, Popperisme, récessivité, théorème de Gödel, théorie des ensembles